余家富Chia-Fu Yu

參與志村簇幾何發展 引領幾何質量公式及應用

模曲線和模型式在整個數學發展扮演極為重要的角色。從十九世紀以來，它們就是數論學家最關心的主題，經過整個二十世紀一百多年來的發展，獲得很多及極大的成就。在 60 年代拉格朗日提出自守型式和自守表現論的綱領後，數學家便高度探索高維空間的算術和幾何關聯，而志村簇的L- 函數就是拉格朗日綱領裡最核心的課題之一。

論文《Xu Shen, Chia-Fu Yu, Chao Zhang EKOR strata for Shimura varieties with parahoric level structure, Duke Mathematical Journal, 170(2021) no.14, 3111-3236》， 旨在探討覆與parahoric 階結構之志村簇模 p 的幾何性質，志村簇模 p 有豐富且複雜的結構。在優化的情況，Ekedahl 和 Oort 於 1994 提出 EO 細分 (EO stratification)，目的是用它來研究牛頓細分 (Newton stratification)。在 Iwahori 階結構模空間裡，Kotlwitz 和 Rapoport 提出KR 細分的初步想法，而KR 細分的幾何結果是在 2008 由 Gortz 和余家富共同合作獲得。

EKOR 細分的主要概念是尋求在 parahoric 階結構志村簇上的細分，使得它在優化的情況成為 EO 細分，而在 Iwahori 階結構的情形就是KR 細分，這個構思是由 He 和 Rapopor 在 2016 年提出。我們在 Kisin 以 Pappas 在結構志村簇的整模型的基礎上，成功建構了 EKOR 細分，並證明其子流型 (EKOR strata) 的幾何性質包括光滑性、維度、以及包含關係 (clousure relation)。

論文《Valentijn Karemaker, Fuetaro Yobuko and Chia-Fu Yu, Mass formula and Oort's conjecture for supersingular abelian threefolds. Adv. Math., 386 (2021), 107812, 52 pp.》，主旨在研究三維超奇異 (supersingular) 阿貝爾簇的算術性質。運用模空間每個點的質量，我們引入質量細分 (mass stratification)。主要結果給質量細分一個清楚的描述，並計算出每一個質量子流型 (mass stratraum) 上的質量公式。質量細分內含了超奇異阿貝爾簇豐富的算術性質，如自同態群 (automorphism groups) 以及自同態環 (endomorphism rings) 等，運用精細質量公式我們研究三維超奇異阿貝爾簇之自同態群，進而給出三維超奇異阿貝爾簇上 Oort 猜想證明，這是 Oort 猜想 26 年來最新的突破。

在自守型式方面，論文《Yasuhiro Terakado and Chia-Fu Yu, Hecke eigensystems of automorphic forms (mod p) of Hodge type and algebraic modular forms, Math Ann. 382 (2022) no. 1-2, 69-102.》， 將Serre 的Jacquet-Langlands 模p 對應，從原來的橢圓模曲線，成功推廣至任意Hodge 型的志村簇上。