蕭欽玉 Chin-Yu Hsiao

多複變函數論與幾何量子化之突破

我的研究專長涵蓋多複變函數論、複幾何與微局部分析。近年來，我在以下四個核心領域取得了突破性的學術成果：

一、退化 Bergman/Szegő 核的漸近展開：當 CR 流形或區域為弱擬凸且有限型時，建立 Bergman 與 Szegő 核的漸近展開是多複變函數論中一個重要且困難的未解難題。為此，我與合作者引入了全新的「微局部諧振子方法」，成功推導出三維弱擬凸有限型 CR 流形與 $\mathbb{C}^{2}$ 中具弱擬凸有限型邊界區域上 Szegő 及 Bergman 核的完整漸近展開式。此外，我所首創的微局部霍奇分解方法，在此領域取得了最具開創性且深刻的結果。

二、CR 共形幾何：如何在緊緻三維 CR 流形上建構具常數 $Q^{\prime}$-曲率的切觸形式，是 CR 共形幾何中的基本難題。由於相關的 $P^{\prime}$ 算子為四階非亞橢圓算子，傳統偏微分方程方法無法適用。為克服此困難，我們引入了 Toeplitz 算子的泛函微積分概念，成功計算出 P Prime 算子平方根的格林函數漸近展開首項，解決了此一幾何學難題。

三、CR 流形上的幾何量子化：為了深入探討古典與量子物理之間的關聯，我發展了微局部分析技術來研究 G-不變 Szegő 核，並證明其為複傅立葉積分算子。我們成功在 CR 流形上證明了「量子化與約化交換」，這是無限維空間中首個此類定理，為幾何量子化理論開啟了全新的研究方向。

四、具邊界複流形上的幾何量子化與映射性質：我們領先將幾何量子化理論建立於具邊界的複流形（非緊緻複流形）上。透過引入創新的「邊界約化技術」，我們成功推導出 G-不變 Bergman 核的完整漸近展開式。這項成果推廣了費爾茲獎得主 Fefferman 的經典理論，可被視為複分析中黎曼映射定理的「量子化」版本。