林學庸 Hsueh-Yung Lin

引進雙有理映射的母題不變量
為 Cremona 群的研究提供新的切入點

我的研究工作和興趣屬於代數幾何與複幾何領域。兩者雖然本質與技術上面向不同，卻有著豐富的交集。

以下分別就代數幾何與複幾何領域，簡述兩項研究成果。

一、雙有理映射的母題(motivic)不變量(與E. Shinder共同合作)

給定佈於任意域 k 的雙有理映射 f : X ---> Y ，我們利用 f 與其逆映射的例外除子(exceptional divisors)構造取值於阿貝爾群 Z[Bir/k] 的不變量 c(f)。此不變量 c 滿足基本性質c(fg)=c(f)+c(g)，從而產生雙有理自同構群 Bir(X) 至阿貝爾群 Z[Bir/k] 的群態射 c: Bir(X) -> Z[Bir/k]。

許多情況下，特別當 X=P^N 是三維以上的射影空間時，我們證明 c 是非零的，並將此性質應用於 Cremona 群 Bir(P^N) 得出嶄新的結果。例如我們證明當 N≥5、且當 k 為任意無窮域時，Bir(P^N) 無法由有限階元素（或更一般地，可正則化(regularizable)映射）生成。此結果否證 Cheltsov 猜想也回答了 Dolgachev的問題，並重新解釋為何大部分的Cremona 群並非簡單群。

二、零熵映射與動態濾鍊(與T.-C. Dinh、K. Oguiso、D.-Q. Zhang共同合作)

給定緊緻 Kähler 流形 X，基於上同調類的正性以及 Hodge 理論（尤其是混合(mixed) Hodge—Riemann 關係），我們證明了零熵群在 H^2(X) 上(1,1)-部分的作用具有我們稱為「動態濾鏈 (dynamical filtrations) 」的結構。

若我們考慮零熵自同構映射 f 在上同調 H^2(X) 的迭代作用，透過動態濾鏈我們能直接得出此作用的多項式增長的最佳上界是 2dimX - 2。此敘述將 Lo Bianco 的結果從三維推廣到任意維度，並回答了 Cantat 於 2018 年國際數學家大會(ICM)報告中間接提出的問題。

得獎感言

感謝國家科學及技術委員會透過傑出研究獎肯定我近幾年於純數學領域的研究。 謝謝合作者們，讓研究走得更深遠也更全面。感謝世界各地領域內的同仁與學生，透過討論和回饋持續形塑我對代數幾何的理解。感謝臺大數學系提供的研究與教學環境，以及國家科學及技術委員會、教育部的經費資源。最後感謝求學階段曾經陪伴和啟發我的師長與前輩，以及家人自始至終無條件的支持。