蔡忠潤 Chung-Jun Tsai

發現自然的曲率條件 證明極小子流形的剛性

本人的研究主要有兩方面：一是關於 Dirac 算子的譜；二是關於極小子流形和均曲率流。

利用橢圓算子的譜了解流形的幾何，這是本人專注的研究之一。在實務上，譜和其對應的特徵函數也應用於其他科學領域。我的工作是針對 contact 流形上的 Dirac 算子的譜，給出一個漸進展開的近最佳估計。這顯示 contact 流形在這個意義下，和一般較熟悉的 Kaehler 幾何有非常類似的行為。這也表示對應的特徵函數的零點軌跡，蘊含著 contact 流形的幾何性質。

另一個工作是關於極小子流形，它們發源自肥皂泡面的數學模型，亦是了解流形幾何和拓樸關聯的一個重要工具。其中，均曲率流為一個主要構造它們的提案。然而，在高餘維的狀況，均曲率流性質瞭解相對少很多。

我們主要是發現一個自然的曲率條件，並證明該條件會有非常強的幾何性質：具體而言，是極小子流形的剛性和均曲率流的穩定性。某些意義上，這刻劃了高餘維均曲率流的穩定態。